По тео­ре­ме ко­си­ну­сов имеем: К тому же

AC пе­ре­се­ка­ет BD в точке O, точка M  — се­ре­ди­на BS, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. За­ме­тим, что

По тео­ре­ме си­ну­сов:

Про­длим BD до точки P, BP  =  

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BMP  — ис­ко­мый. Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

По тео­ре­ме си­ну­сов имеем: Таким об­ра­зом,

Ответ: 26.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Из фор­му­лы пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма найдём

Вос­поль­зу­ем­ся ос­нов­ным три­го­но­мет­ри­че­ским тож­де­ством и найдём за­ме­тив, что угол ABC тупой:

Те­перь найдём боль­шую диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ABC:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

По­стро­им се­че­ние плос­ко­стью. Про­ве­дем пря­мую PN, она пе­ре­се­чет ребро BS в точке K. Далее про­ве­дем KM. В плос­ко­сти ABC про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную KM через точку N. Она пе­ре­се­чет ребро AC в точке R. Про­ве­дем MR. Тра­пе­ция NKMR  — ис­ко­мое се­че­ние. Най­дем ее сто­ро­ны.

По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка

то есть точка K  — се­ре­ди­на BS. Тогда по­лу­ча­ем, что KM па­рал­лель­но BA и равно 12, как сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASB. Более того, NR так же па­рал­лель­но BA и равно 6 по тео­ре­ме о про­пор­ци­о­наль­ных от­рез­ках. Таким об­ра­зом, тра­пе­ция NKMR  — рав­но­бед­рен­ная, най­дем ее бо­ко­вую сто­ро­ну по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Най­дем вы­со­ту тра­пе­ции по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда пло­щадь тра­пе­ции равна

Ответ:

Про­ве­дем в тре­уголь­ни­ке ABC вы­со­ту BH. Най­дем:

Зна­чит,

и

Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Далее, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 324.

Пусть мень­шая сто­ро­на па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD AB равна x, угол A равен 60°, сто­ро­на AD  =  2x и лежит в плос­ко­сти α. Най­дем боль­шую диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Зна­чит, Пусть h  — рас­сто­я­ние от пря­мой BC до плос­ко­сти α. Тогда

Вы­со­та па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ве­ден­ная к сто­ро­не AD равна Тогда

От­сю­да

Ответ: 105.

На­про­тив ту­по­го угла долж­на ле­жать боль­шая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка, по­это­му от­ку­да Раз­бе­рем слу­чаи.

1.  Если AB  =  5, то но тогда

и тре­уголь­ник не ту­по­уголь­ный.

2.  Если AB  =  6, то тогда

и тре­уголь­ник ту­по­уголь­ный.

3.  Если то

и та­ко­го тре­уголь­ни­ка не су­ще­ству­ет.

Итак, AB  =  6 и AC  =  3. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

от­ку­да

На­ко­нец по фор­му­ле Ге­ро­на пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

Ответ: А2Б5В4.

За­ме­тим, что пря­мые DC₁ и AB₁ па­рал­лель­ны, по­это­му

Кроме того Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка AB₁D₁ по­лу­ча­ем

от­ку­да

По­это­му

Ответ: 210.

Так как ко­си­нус угла ABC равен синус этого угла равен Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен

от­сю­да CC₁  =  2. За­ме­тим, что A₁N : A₁B₁  =  A₁M : A₁A, сле­до­ва­тель­но, пря­мые MN и AB₁ па­рал­лель­ны. Пря­мые AB₁ и DC₁ также па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, угол между пря­мы­ми MN и BC₁ равен углу BC₁D. По­лу­ча­ем:

сле­до­ва­тель­но,

Имеем:

При­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке BC₁D, по­лу­чим:

Тогда

Ответ: 46.

Так как ко­си­нус угла BCD равен синус этого угла равен Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен

от­сю­да CC₁  =  3. За­ме­тим, что B₁N : B₁C₁  =  B₁M : B₁B, сле­до­ва­тель­но, пря­мые MN и BC₁ па­рал­лель­ны. Пря­мые CD₁ и BA₁ также па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, угол между пря­мы­ми MN и CD₁ равен углу C₁BA₁. По­лу­ча­ем:

сле­до­ва­тель­но,

Имеем:

При­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке C₁BA₁, по­лу­чим:

Тогда

Ответ: 78.